商高、赵爽与刘徽关于勾股定理的证明
作者 | 曲安京 来源 |《数学传播》1996年第20卷第3期
一.缘起
《周髀算经》是流传至今最古老的一部天算典籍，它的成书年代保守估计应在公元前一世纪。该书开篇记述周公与商高的问答，将中国数学史的源流回溯到公元前十一世纪，由于商高的答辞中论述了勾股定理的内容，因此历来深受研究者的重视。
勾股定理在中国传统数学(尤其是几何学) 中的重要性无论怎样定位恐皆不会过分。远在三国时代的赵爽注释《周髀》并撰著“句股圆方图说”之前，有关勾股定理及勾股形问题的讨论已经出现在《周髀算经》及《九章算术》等著作中，但中算家究竟何时给予勾股定理以严格的证明，则是人们对商高答周公问所寄寓浓厚兴趣的原因所在。
本世纪五十年代，中国大陆的数学史界曾就《周髀》中是否给出勾股定理一般形式的证明，展开过颇为热烈的讨论，但终因其原文有关文字过于隐晦而难于疏通，结果不了了之。
1982年，台湾陈良佐先生发表文章，讨论赵爽的“勾股圆方图注”，首次从探析赵爽对《周髀》中商高答问一段文字注释的角度，给出了原文一些极富启发性的说明，由此引发了新一轮“商高是否证明了勾股定理”的讨论。
1989年，台湾李国伟先生在“第二届(台湾)科学史研讨会”上发表论文，抛开赵爽注，以为《周髀》原文已经表明商高证明了勾股定理。
几乎同时，陈良佐教授与美国程贞一先生亦发表论文，再论商高答周公问，他们给出的证明图几乎一致，但陈教授以为商高原文尚有个别疑点，只是求弦的方法，未必称得上是对勾股定理的证明；而程贞一教授则主张，商高已给出了该定理一个一般性的证明。
1993年，西安李继闵先生发表论文，给出商高原文另一种不同解释，李继闵教授以为，前述三位学者将术文中的“矩”理解为直角四边形，缺乏中算根据，李文认为，“矩”的古义一为“矩线”，一为“罄折形”(即曲尺形)；“矩”演变为今日“矩形”的概念，则是明代西方数学传入中国之后的事。
上述四种论点，除陈良佐先生外，皆力主商高已证明勾股定理，李国伟先生以为赵爽注与原文难相吻合，李继闵先生则逐字训解赵注，认为它与经文完全一致。
1994年10月底，笔者受纽约李氏基金资助到英国剑桥李约瑟研究所做为期一年的访学，11月中，伦敦大学古克礼(C.Cullen)先生在该所每周例行的古汉语英译讨论班上，报告他英译《周髀算经》中商高答问等有关内容，在报告完毕时，笔者便按照李继闵教授有关“矩”的释义，提出一种与古克礼博士完全不同的看法，受到质疑，感觉难以自圆其说，遂对此产生兴趣。后经对商高答问及赵爽注文的仔细分析，发觉将“矩”释为直角四边形似非绝无可能，因之由此出发，重新探讨商高原文与赵爽注释的含义。
在完成对商高答问及赵爽注释的疏解之后，我从剑大图书馆等处找来了上述几位学者的文章，认真拜读之后，发觉对经文的图解与李国伟教授的观点有些类似。李国伟先生的大作两年前曾在李继闵教授处见过，当时没有仔细拜读，依稀觉得其构图十分复杂，由于当时我对李继闵教授的论述已然深信不疑，认为“商高定理”几成定论，因而未去研读其它学者的论述，这次“旧事重提”，或许潜意识里不能抹杀李国伟先生大作中图示的启发，这里特别说明。
依笔者愚见，商高确实证明了勾股定理，赵爽的注文则不仅正确理解了商高答问原文的内含，而且由此创作了“句股圆方图说”。
二.商高关于勾股定理的证明
《周髀算经》第一章即周公与商高的问答，原文不长，今照录如下：
昔者周公问于商高曰：“窃闻乎大夫善数也，请问昔者包牺立周天历度，夫天可不阶而升，地不可得尺寸而度，请问数安从出？”商高曰：“数之法出于圆方，圆出于方，方出于矩，矩出于九九八十一。故折矩，以为句广三，股修四，径隅五。既方之，外半其一矩，环而共盘，得成三四五。两矩共长二十有五，是谓积矩。故禹之所以治天下者，此数之所生也。”
商高的答辞总共81个字，“矩”出现了五次。对于上述文字理解上产生的歧异，主要集中在以下两点：
1.“矩”，“其一矩”，“两矩”各指什么？
2.“既方之”如何操作？
笔者认为，这里的“矩”可以统统理解为长方形(包含正方形)，“其一矩”是不同于“故折矩”中所述的另一种长方形，“两矩”正如赵爽所注为勾与股为边长的两个正方形。
“既方之”，则是取一与赵爽弦图大小相同的正方形(边长为勾+股)。
以下结合赵爽注，逐句解释商高的答辞。
所谓“数之法出于圆方”，是古人对宇宙万物的数学抽象，意指任何事物的形态或测度，均可以归结为对某种“方”或“圆”形的计算。如刘徽在《九章算术》“圆田术注”中便称“凡物类形象，不圆则方。方圆之率，诚著于近，则虽远可知也。”
由于远古中国人认为圆周率 π=3，于是，任何圆的度量，按
周长=3×直径
圆积=(3/4)×直径^2
皆可化为对边长等于圆径的正方形的度量：
圆周长：正方形周长=圆积：方积=3：4
因此说“圆出于方”。
由于“方”为长方形(即矩)之特例，因此说“方出于矩”，即“方”的度量可按“矩”来处理。
赵爽注称：“矩，广长也。”正是在讲“矩”是由长与宽(即广)两条垂直的边所交成的直角四边形。其面积=长×宽，需用乘法计算，因此说“矩出于九九八十一”。
诚然，在赵爽“句股圆方图说”及《九章算术》刘徽注的文字中，所提到的弦方之中“勾实之矩”或“股实之矩”分别是以股弦差或勾弦差为宽的曲尺形，但在计算其面积时，则分别按下述文字陈述：
勾实之矩，以股弦差为广，股弦并为袤。
股实之矩，以勾弦差为广，勾弦并为袤。
这分明是将曲尺形化为长方形。而从上述陈述句式判断，“矩”不就是以“广”和“袤”为边长的长方形吗？因此，笔者认为，“矩”形本应指长方形，“勾实之矩”或“股实之矩”因其可以直接化为长方形，故得此称谓。
如前所述，商高将宇宙万物抽象为圆与方，而通过 π=3，又得圆：方=3：4，就勾股定理而言，有 3^2+4^2=5^2 。
2,3,4,5这种奇妙的数字组合，简直就成了整个中国古代数学的出发点。
因此，商高以4为股，3为勾来建立勾股定理，它们分别代表了宇宙最基本的两种几何形态：
方与圆。
“故折矩”，就是将通过圆与方之关系导出的勾3，股4分别折合成“勾方之矩”与“股方之矩”，如图一所示。此两矩位置的设置，按赵爽注称：“应圆之周，横者谓之广，句亦广，广，短也。”因此将勾方之矩置于右下，又“应方之匝，从者谓之修，股亦修，修，长也。”将股方之矩置于左上。“径隅五”，即由“两矩”相交的两条边勾与股所对应的斜边，按勾三，股四，适得弦五。这是以下将要证明的事实。
“既方之”，就是在图一的基础上做一大正方形。
按赵爽注称：“句股之法，先知二数，然后推一。见句股，然后求弦，先各自乘，成其实，实成势化，尔乃变通，故曰‘既方’。”
这段注文的意思是说，按勾股定理，若已知勾股，即可求弦。现在通过“折矩”，先令勾股各自乘，而给出勾方与股方，要将这两矩面积之和转化为弦方的面积，进行变通，因此，将其纳入一大正方形之中，这就是“既方之”的用意。
赵爽接着说：“其外，或并句股之实以求弦，实之中乃求句股之分并，实不正等，更相取与，互有所得，故曰‘半其一矩’。”
“其外”，即图二大方形中股方与勾方之外的两个矩形，为了求得弦方，即需拼合股方与句方，因其形态不悉相似，因而要对图二重新分割，按出入相补，进行组合，因此要先“半其一矩”。
“其一矩”即不同于股方与勾方之矩的另一种矩，在图二大正方形的右上与左下的两个以勾股为边长的矩形均可称为“其一矩”，“外半其一矩”，就是从外侧剪下这两个矩形中某一个的一半，无妨取其左下，如图二所示。
“环而共盘，得成三四五”。将图二“外半其一矩”所剪下的半个矩形，绕大正方形周边盘而裁之，如图三所示，因裁去的四个三角形正好是大正方形中两个“其一矩”的面积，因此图三中弦方的面积，适为股方与勾方之和，此时得弦长为5，于是勾，股，弦成为3，4，5。在这段原文之后，赵爽注称：“盘读如盘桓之盘。言取而并减之积，环屈共盘之。...”
这里说得很清楚，“并减之积”，即图二中“股方”与“句方”之外的两个长方形，将它们裁下，绕大正方形“环屈而共盘之”，即得图三。
“两矩共长二十有五，是谓积矩。”
赵爽注称：“两矩者,句股各自乘之实。共长者，并实之数。将以施于万事，而此先陈其率也。”
很显然，赵爽将这里的“两矩”理解为勾方与股方，与我们前面的疏解完全吻合。将两矩面积称为“共长”，曾令许多学者迷惑不解，李继闵先生很精辟地道出了个中原委。原来，古人并无量纲概念，传统数学中没有“平方尺”或“立方尺”之类的单位，中算家度量面积，总是将其化为某一边为单位量的矩形，体积则化为某一面为单位正方形的长方体，如此一来，这个等积矩形另一边的长度,即可表示其面积的大小，而等积长方体的高度,即可表示其体积的大小。因此，弦方的面积，展如图四所示。
通过上述文字应可看出，商高以勾三，股四，弦五为例，展示勾股定理的证明，一方面基于这位远古数学大师对复杂客观事物的数学抽象，另一方面也体现了中算家对数学定理往往“寓理于算”的传统风格。
商高无疑已严格地证明了勾股定理。
三.赵爽的弦图
赵爽在前引《周髀算经》商高关于勾股定理的论述之后，就勾股定理及勾股弦三边互求的多种类型创作了一篇杰出的论文：“句股圆方图说”，其中第一段便是利用他构造的“弦图”对勾股定理给予了一个新的证明：
句股各自乘，併之为弦实，开方除之即弦。案：弦图又可以句股相乘为朱实二，倍之为朱实四，以句股之差自相乘为中黄实，加差实亦成弦实。
这段文字紧接着商高的答辞给出，其中案语中有两句话应引起我们的注意：
1.“弦图又可以.…”
2.“加差实亦成弦实。”
第1句话表明，赵爽给出的弦图(影印见图五)，与商高的弦图不同，换句话说，商高的答辞中必然包含了一张弦图。
第2句话则证明，这两张弦图皆在推求弦实，亦即均在证明勾股定理。至少从赵爽的角度而言，商高的原文是在证明并且已经证明了勾股定理！
那么，赵爽的弦图与商高的图从构造的方式来看有什么关系呢？
赵爽的弦图中弦实由两部分组成，一为中黄实，即股勾差的平方；一为四个朱实，即两个以勾股为边的长方形分成的四个直角三角形。
在商高的弦图构造过程中，可以在图二中找到朱实四(如图六所示)，若将图六中的左下长方形裁下，按图七所示拼合，则立得中黄方。
将环绕中黄方的四个以勾股为边的长方形分别“外半之”，则立得赵爽的弦图(见图八)。
商高弦图的构造步骤次递为
既方之 →外半之 →环而共盘
赵爽弦图的构造步骤次递为
既方之 →环而共盘 →外半之
两者殊途同归。应该说，赵爽创造的弦图，是通过对商高答辞的研究与证释而补充发挥的。笔者以为，若将赵爽的注释与弦图同商高的答辞贯通分析，那么以上就商、赵勾股定理之证明的疏解便呈现一条清晰的逻辑链。
四.刘徽的出入相补
《九章算术》句股章的第一个公式即句股定理：“句股各自乘，并而开方除之，即弦。”
刘徽对此术的注文，给出了一个语焉未详的证明：
句自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类，因就其余不移动也。合成弦方之幂，开方除之，即弦也。
由于刘徽的“出入相补”过于简约，因此，其弦方如何拼合而成，恐难以获得公认的答案。笔者认为，刘徽的方法不同于商高与赵爽，且应比他们的图简单。其
证明过程或许如下所述：
先将勾(AC)股(BC)各自乘之积并列如图九，在 AB 上取一点 D，令 DB=AC=勾，连接DF、DE，直角△AED与△DFB 皆以勾股为直角边，朱方与青方被分割成五块。
其朱5与青1合成一类，青2自成一类，出入相补如图十，朱4与青3不移动，于是合成弦方 EDFH。由此证明，弦方=勾方+股方。
五.结语
有关商高的生平，我们知道的很少，过去通常可以引征的仅有赵爽注中的一条文字：“商高，周时贤大夫，善算者也。”
因此，清代以来，人们常将其视为传说中的人物，笔者1987年协助业师李继闵教授编写《陕西地方科技志古代篇，数学》时，曾遍览陕西各地方县志有关部分，从《中国方志从书.商南县志》卷八“人物志”中查获一条有关商高生平的记载：
[周]商高，黄帝之昆孙。以地得姓。周初封子男于商。精数学，《周髀》衍其说为算经。《国语》曰司商。
关于《商南县志》及上述文字的作者及出处，李继闵教授有更进一步的考证。中国古代的地方志，世代相传，十分可信，商高为西周初期(约公元前十一世纪)的数学家殆无疑问。由于商高在勾股定理方面的创见，堪称为有史以来世界文明中的第一位数学大师。
参考文献
1.陈良佐，赵爽勾股圆方图注之研究，刊于《大陆杂志》，1982年64卷1期，18-37页。
2.李国伟，论《周髀算经》“商高曰数之法出于圆方”章，刊于《第二届科学史研讨会汇刊》，台湾，1991年7月，227-234页。
3.陈良佐，周髀算经勾股定理的证明与出入相补原理的关系，刊于《汉学研究》，1989 年第7卷第1期，255-281页。
4. Cheng-Yih Chen(程贞一), A Comparative Study of Early Chinese and Greek Work On the Concept of Limit，刊于Science and Technology in Chinese Civilization, World Scientific, 1987, p.35-44.
5. 李继闵：商高定理辨证，刊于《自然科学史研究》，1993年第12卷第1期，29-41页。6. 周髀算经，文物出版社，1980年3月，据宋代嘉定六年本影印，1-5页。
7.陈良佐、程贞一与李国伟认为“故折矩”是将以勾股为边的矩形折半，如图十一之左图所示，而李继闵教授则主张此处的“矩”为“矩线”，如图十一之右图，“径隅五”是句股两边所夹直角(即隅)对应的虚线长度。按后者解释“句、股与径隅”更符合《周髀》本义，因为按周髀之法，髀，即表，即股；句即表端阳光投射的影长，对直角三角形而言，古人常以“句广，股修，径斜”表述，《周髀》称“径斜”“径隅”，显然并未将此弦实际画出，因此，以虚线表示更为妥当。另外，按图十一两种“折矩”的方法，均可通过“既方之”而获得图二之大正方形，但是，下文中“两矩共长”的两矩便失去了根据，而“半其一矩”究竟是半勾方、股方还是以勾股为边的矩形，亦难以选择。
8.《九章算术》，钱宝琮校点《算经十书》，上，中华书局，1963年10月，241页。
