畴人之家出身的祖冲之
(资料来源:数学中国)
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我国古代杰出的数学家、天文学家祖冲之
3月14日,是国际数学节,也是圆周率日。说到圆周率,不得不提的人自然是我国古代数学家祖冲之。
很少有人知道,除了数学外,祖冲之在天文、机械等多个领域都颇有研究,甚至还精通乐理、音韵。
割之弥细,所失弥少…… ——刘徽(魏晋)
1、 阮元编纂《畴人传》
1795年,对中国数学和数学史是个有意义的年份,被赞为“三朝阁老、九省疆臣、一代文宗”的扬州人阮元初到杭州,担任浙江学政(相当于教育厅长),即开始主持编纂《畴人传》。所谓“畴人”是指古代中国专门执掌天文历算之学的人,往往是父子世代相传为业。魏晋南北朝时期的祖冲之和他的儿子祖暅之(祖暅),即是其中的典范。
在古代中国,数学虽曾在周朝被列入儒家必习的“六艺”,后来却渐渐不为统治者所重视。在他们看来,数学是九九贱技,会“玩物丧志”。《新唐书》称,“凡推步、卜相、医巧,皆技也,小人能之。”此处推步即推算天象历法,无疑包括了数学。古代中国科技虽也有辉煌的成就,但与儒家经典的研究相比较,实在是微乎其微。
虽说宋元出现了秦九韶、朱世杰等数学名家,元、明两代却没有算学馆,国子监的学生不知宋代数学研究的成果为何物。到了明末,因为历法的需要,数学才又开始活跃起来。清朝康熙晚期,复又设立算学馆;乾隆则接受大臣的建议,将一些失散已久的数学著作收录进《四库全书》。一时间,掌握天文数学知识,也成为学者的进身之阶。
正是在前辈同道的精神和时事引导之下,阮元将数学升格为儒家的“实事求是”之学。一方面,他以此作为评判通才的标准,另一方面,他已经领悟到了数学的实用性。阮元还提出“算造根本,当凭实测”,从而赋予数学以经学研究的方法论意义。在苏州人李锐和台州人周治平的协助下,阮元主持编纂了《畴人传》,为了将包括数学和天文学的自然科学纳入儒学。在他出任浙江巡抚后,又创办诂经精舍并率先开设天文、算学课程。
《畴人传》初版共46卷,316位传主,既有商高、荣方、陈子、孙子、张苍、司马迁、耿寿昌、刘向、王充、张衡、蔡邕、郑玄、赵爽、刘徽、葛洪、何承天、祖冲之、祖暅之、王孝通、李淳风、一行、沈括、苏颂、秦九韶、杨辉、李冶、郭守敬、刘基、朱载堉、程大位、徐光启、薛凤祚、黄宗羲、梅文鼎等275位同胞科学家,也有欧几里得、阿基米德、托勒密、希帕恰斯、哥白尼、第谷、阿基米德、利玛窦、汤若望等41位外国科学家作为附录。
值得一提的是,在东汉大儒郑玄的小传里,有这样的评论,“然则治经之士,固不可不知数学矣”。这或许是我国最早谈论文理交融重要性的言论。郑玄是山东高密人,祖上务农,他天资聪颖,从小习书数之学、除了儒家“五经”,八九岁时便精通四则运算,后又研习《三统历》和《九章算术》。郑玄编注儒家经典,是汉代经学的集大成者,世称“郑学”。
《畴人传》的出版使得中国开始有了系统记载天文数学方面的科技人物和创造发明的书籍,此书为中外科学史家所瞩目,民国时清人列传收入《清史稿》。英国著名科学史家李约瑟博士在《中国科学技术史》中称《畴人传》为“中国前所未有的科学史研究”,并称赞阮元是“精确的科学史家”。而在杭州,为纪念阮元多方面的杰出成就和贡献,也有了“西湖三岛”之一的阮公墩。
2、 祖冲之与圆周率
祖冲之祖籍河北涞水,该县如今隶属保定市,与北京市的门头沟区和房山区相接。但他于公元429年出生于南北朝时期南朝的政治、经济中心建康(今南京),这是比较稀罕的,以笔者之见,大都市不容易产生天才人物。自从317年晋室(东晋)南迁以来,江南地区的经济迅速发展,出现了一些繁荣的城市,建康是其中较为突出的代表。
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祖冲之
祖家是一个官宦人家,祖冲之的曾祖父在东晋时官至侍中、光禄大夫,相当于宰相和国策顾问之类。他的祖父和父亲都在南朝做官,祖父是大匠卿,掌管宫室、宗庙、陵寝等的土木营建;父亲是奉朝请,这是闲散大官。古时称春季的朝见为朝,秋季的朝见为请。这个家族的历代成员,大多对天文历法颇有研究。
相比之下,祖冲之担任过的官职较低,却在天文学和数学领域,乃至机械制造方面较其前辈取得了更为杰出的成就。在刘宋时期,他曾担任南徐州(今镇江)的从事史,这是督促文书、察举非法的官职。做过娄县(今苏州昆山)县令,也做过掌朝廷礼仪与传达使命的谒者仆射。到了萧齐王朝,曾官至长水校尉,这是祖冲之一生担任的最高官职(四品)。
从青年时代开始,祖冲之便对数学和天文学怀有浓厚兴趣,他曾在著作中自述说,自幼起“专功数术,搜炼古今”。祖冲之把上古时起至他生活年代的各种文献资料搜罗来研究,同时亲自进行精密的测量和仔细的推算,也不把自己束缚在古人陈腐的思想中。可以说,祖冲之批判地接受了前人的学术遗产,并勇于提出自己的新见解,这是古往今来一切杰出科学家共有的优良品质。
在数学领域,祖冲之师承的是比他早两百多年的魏晋时期的刘徽,后者发明了计算圆周率的“割圆术”和计算球体积的方法。由圆面积计算公式,容易得知,只要求得圆的面积,再除以半径的平方,即为圆周率。而如何求圆面积,刘徽在《九章算术》的注释里这样写道,
割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆合体而无所失矣。
刘徽从圆内接正六边形开始计算面积,依次将边数加倍,求出内接正十二边形、正二十四边形、正四十八边形等等的面积。随着边数的增加,内接正多边形的面积越来越接近圆的面积,圆面积和圆周率的精确度就越高。
在古代,包括中国和巴比伦在内的一些民族,都把3作为圆周率。这方面,古埃及人的计算较为准确,他们得到的圆周率为3.1。刘徽用他的割圆术,求得圆周率为3.14,这与古希腊数学家阿基米德算得的圆周率是一致的,后者比刘徽要早六个世纪。学界普遍推测刘徽也算出了3.1416,但未有直接的证据。
祖冲之计算出的圆周率范围为,3.1415926<π<3.1415927
即精确到小数点后7位。此外,他还得了被称为密率的这个分数的圆周率 355/113,虽然只精确到小数点后6位,却同样让人惊叹。直到962年以后,祖冲之的圆周率才被阿拉伯统治下的波斯数学家卡西改进。卡西利用了余弦函数的半角公式,简化了计算,精确到了小数点后17位。而德国人奥托求得密率,则比祖冲之晚了一千多年。
祖冲之的成就是如何取得的?没有任何史料流传下来,因为祖冲之的著作全部失传了,而记载圆周率值的《隋书》又没有具体交代。由于当时只有刘徽的割圆术一种方法,因此我们只能猜测祖冲之用的是同样的方法。那样的话,他需要算出圆内接正24576边形的面积,而密率(有日本学者建议称为祖率)的求得恐怕是借助于前辈天文学家何承天发明的“调日法”。
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3、 球体积与大明历
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不难想象,当年祖冲之父子得到这个公式时,是何等的喜悦和激动。可是,他们有所不知的是,这个公式早在公元前3世纪就有了,它同样得自于有着“数学之神”雅称的古希腊数学家阿基米德。
除了数学领域,祖冲之在天文学方面也有成就。经过实际观察,他发现何承天制定的为当时刘宋王朝采纳的元嘉历有不少错误。例如,冬至时太阳所在宿度距实测已差三度,冬至、夏至时刻已差一天,五星(金木水火土)的出没时间更是相差40天。于是,祖冲之便动手编制了新的历法——大明法,这是那个时代最准确的历法。
公元462年,33岁的祖冲之上表孝武帝刘骏,请他对新的历法进行讨论。不料,却遭到皇帝宠幸的大臣戴法兴的反对。朝中百官惧怕戴的势力,多有所附和。祖冲之理直气壮,勇敢地进行了辩论,并写下了著名的《驳议》呈送皇帝。文中有他的两句名言,“愿闻显据,以核理实”,“浮辞虚贬,窃非所惧”。这场辩论反映了进步与保守、科学与反科学两种势力的斗争,这也是科学的每一次进步常会遇到的。
由于种种阻碍,直到半个世纪以后,已经过了刘宋王朝和萧齐王朝,终于在梁朝天监九年(510),由于祖暅的坚决请求,再经过实际天象的校验,大明历才得以“甲子元历”之名正式颁行,那时祖冲之已去世10年了。“甲子元历”引入了“岁差”的概念,把旧历中每19年闰7年改为每391年闰144年,使得一年的误差仅50秒。直到宋代,才有更好的历法出现。
4、 指南车和千里船
除了数学和天文学方面的工作以外,祖冲之还制造过各种奇巧的机械,包括指南车和千里船,同时他还通晓音律,堪称毕达哥拉斯或阿基米德式的博学多才的科学人物。指南车的名称在我国由来已久,但其机制构造均未见流传。据说三国时期的大发明家马钧曾制造出指南车,但到晋时早已失传。
说到马钧,他是陕西兴平人,不善言辞,还口吃,有点像16世纪那位给出三次方程一般解的意大利人塔尔塔利亚。除了指南车,他还奉诏制木偶百戏,民间称“水转百戏”。又改造了织绫机,将工效提高了四五倍。马钧还改良了用于农业灌溉的龙骨水车,以及由诸葛亮发明的军事机械连弩,后者是一种可以连续射箭的装置。
据说东晋末年,南朝刘宋的开国皇帝刘裕攻入十六国时期后秦的首都长安,得到的许多器物中就有指南车,但“机数不精,虽曰指南,多不审正,回曲步骤,犹须人功正之”。刘宋最后一个皇帝顺帝在位时,辅政的萧道成“使冲之追修古法。冲之改造铜机,圆转不穷而司方入如一,马钧以来未有也。”
除了指南车,祖冲之还“以诸葛亮有木牛流马,乃造一器,不因风水,施机自运,不劳人力”,但因缺乏图像资料,我们无法想象这是何种机械。不过,祖冲之“又造千里船,于新亭江试之。日行八百里”。显然这是一种快船,却不知新亭江在何处?是否长江上的一段呢?他又“于乐游苑内造水碓磨,武帝(齐武帝,483-494在位)亲自临视”。
祖冲之的成就不仅限于自然科学方面,他还精通乐理.对于音律很有研究。有史料记载,“冲之解钟律博塞当时独绝,莫能对者”。(以上诸引言出自《南齐书》或《南史》中的祖冲之传。)另外,祖冲之还著有《易义》、《老子义》、《庄子义》、《释论语》等哲学著作,可惜与他的数学书一样均已失传。他的文学作品有《述异记》,在宋代的类书《太平御览》等古籍中,尚可以看到此文的片断摘录。
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千里船
在祖冲之生活的年代,算盘尚未发明,人们使用一种叫算筹的计算工具,它是一根根几寸长的方形或扁形的小棍子,有竹、木、铁、玉等材料。计算数字的位数越多,所需要摆放的面积就越大,筹算计算一次就要用笔记下结果,这样就无法得到直观的图形和算式。因此只要有差错,就只能从头开始。祖冲之精益求精,反复筹算,才求得圆周率的精准数值。
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汉代骨制算筹,图片来自wikipedia
至于祖暅,他的生卒年代不详,只知他曾任太府卿,这是南朝设置的掌管金帛财帑的官职。由于受家庭尤其是父亲的影响,祖暅从小就对数学有浓厚的兴趣,祖冲之的《大明历》便是在祖暅三次建议的基础上完成的。祖冲之的名著、曾经列入唐代数学教科书并流传朝鲜和日本的《缀术》曾经学者们考证,有些条目是祖暅所作。至于球体积的计算公式,则应该是祖暅一生最具代表性的发现。
说来也巧,祖冲之的主要工作与沈括的《梦溪笔谈》可能都在镇江完成。纵观祖冲之父子的两项主要数学成就,因为阿基米德早已给出球体积计算公式,圆周率方面的工作更为世人称道。但那就像体育比赛的记录一样,是为了被人打破而存在的。自从有了无穷级数的表示法和计算机,圆周率的人为竞争便失去意义。
(节选自《数学的故事》,蔡天新著,中信出版社)